Question

【題目】已知函數.

當時，恒成立，求的值；

若恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，求出函數的最大值，從而求出a的值即可；

（2）把f（x）≤0恒成立，轉化為lnx≤ax+b恒成立，當a≤0時顯然不滿足題意；當a＞0時，要使lnx≤ax+b對任意x＞0恒成立，需要直線y＝ax+b與曲線y＝lnx相切，設出切點坐標，把a，b用切點橫坐標表示，得到a+blnx0﹣1（x0＞0），構造函數g（x）lnx﹣1，利用導數求其最小值得答案．

解：（1）由，得，則.

∴.

若，則，在上遞增.

又，∴.當時，不符合題意.

② 若，則當時，，遞增；當時，，遞減.

∴當時，.

欲使恒成立，則需

記，則.

∴當時，，遞減；當時，，遞增.

∴當時，

綜上所述，滿足題意的.

（2）由（1）知，欲使恒成立，則.

而恒成立恒成立函數的圖象不在函數圖象的上方，

又需使得的值最小，則需使直線與曲線的圖象相切.

設切點為，則切線方程為，即..

∴ .

令，則.

∴當時，，遞減；當時，，遞增.

∴.

故的最小值為0.