Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，其中a＞0.曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=x+1垂直.

（1）求函數f（x）的單調區間；

（2）求函數f（x）在區間[1，e]上的極值和最值.

Answer 1

【答案】（1）f（x）的單調減區間為（0，2），增區間為[2，+∞）；（2）f（x）的極小值為f（2）=ln2，無極大值；最小值ln2，最大值1.

【解析】

（1）先求導,由曲線在點處的切線與直線垂直可得,即可解得,再分別令和,即可求解；

（2）由（1）可知f（x）的極小值為f（2）,無極大值,再將極值與端點值比較求得最值即可.

（1）由題,（x＞0）,

因為曲線在點處的切線與直線垂直,

所以,解得a=2,

所以,

令得0＜x＜2,令得x＞2,

所以f（x）的單調減區間為（0,2）,增區間為[2,+∞）

（2）由（1）可得f（x）在（1,2）上遞減,在（2,e）上遞增,

故f（x）的極小值為f（2）=ln2,無極大值；

又因為f（1）=1,f（e）,f（2）=ln2,

所以f（x）的最小值為ln2,最大值為1.