Question

【題目】已知兩個(gè)定點(diǎn) ，動(dòng)點(diǎn)P滿足 .設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線 .
（1）求曲線E的軌跡方程；
（2）若l與曲線E交于不同的C,D兩點(diǎn)，且 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率；
（3）若 是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作曲線E的兩條切線QM,QN，切點(diǎn)為M,N，探究：直線MN是否過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為
由 ，得：
整理得：曲線的E軌跡方程為 x 2 + y 2 = 4。
（2）解：依題意圓心到直線l的距離 ，
∴：k=±.
（3）解：由題意可知： 四點(diǎn)共圓且在以O(shè)Q為直徑的圓上，設(shè) ，
其方程為 ，即：
又M,N在曲線 上，
，
即 ，由 得 ，
直線MN過(guò)定點(diǎn) .
故答案為：直線MN過(guò)定點(diǎn) ( , 1 ).
【解析】（1）本題先假設(shè)出點(diǎn)p的坐標(biāo)，將已知條件代入即可求出軌跡方程。
（2）根據(jù)圓心到直線的距離可利用到未知數(shù)斜率k，進(jìn)而求出k值。
（3）根據(jù)已知條件假設(shè)出以O(shè)Q為直徑圓的方程，再假設(shè)出直線MN的方程式，進(jìn)而代入即可求出直線MN是否過(guò)定點(diǎn)。