Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值；（2）方程 有三個(gè)實(shí)根等價(jià)于， 與 有三個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象與函數(shù)的極值可求出取值范圍.

試題解析：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，

解得x1＝－，x2＝.

因?yàn)楫?dāng)x>或x＜－時(shí)，f′(x)＞0；

當(dāng)－＜x＜時(shí)，f′(x)＜0.

所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)；

單調(diào)遞減區(qū)間為(－，)．

當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)有極大值5＋4；

當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有極小值5－4.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示．

所以，當(dāng)5－4＜a＜5＋4時(shí)，

直線y＝a與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

即方程f(x)＝a有三個(gè)不同的實(shí)根．