Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．

（1）在平面PAD內找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；
（2）證明：平面PAB⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】
（1）

證明： M為PD的中點，直線CM∥平面PAB．

取AD的中點E，連接CM，ME，CE，則ME∥PA，

∵ME平面PAB，PA平面PAB，

∴ME∥平面PAB．

∵AD∥BC，BC=AE，

∴ABCE是平行四邊形，

∴CE∥AB．

∵CE平面PAB，AB平面PAB，

∴CE∥平面PAB．

∵ME∩CE=E，

∴平面CME∥平面PAB，

∵CM平面CME，

∴CM∥平面PAB；

（2）

解：∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB與CD相交，

∴PA⊥平面ABCD，

∵BD平面ABCD，

∴PA⊥BD，

由（1）及BC=CD= AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，

∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，

∵PA∩AB=A，

∴BD⊥平面PAB，

∵BD平面PBD，

∴平面PAB⊥平面PBD

【解析】（1）M為PD的中點，直線CM∥平面PAB．取AD的中點E，連接CM，ME，CE，則ME∥PA，證明平面CME∥平面PAB，即可證明直線CM∥平面PAB；（II）證明：BD⊥平面PAB，即可證明平面PAB⊥平面PBD；本題主要考查了直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．