Question

在二項式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，前三項系數的絕對值成等差數列．
（1）求展開式的第四項；
（2）求展開式的常數項；
（3）求展開式中各項的系數和；
（4）求展開式的有理項．

Answer 1

分析：觀察題設及四個問題，知本題是考查二項式系數的性質與等差數列性質的題，由前三項系數成等差數列建立方程求出n，
（1）由二項展開式的項的公式求出第四項；
（2）由二項展開式的項的公式，令x的指數為0即可求出常數項；
（3）可令二項式中的變量為1，計算可得二項式各項的系數和；
（4）令二項展開式中x的指數為整數即可求出所有的有理項．

解答：解：因為第一、二、三項系數的絕對值分別為C_n⁰，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

∴

C

0 n

+

1

4

C

2 n

= 2×

1

2

C

1 n

∴n²-9n+8=0
解得n=8．
（1）第四項 T4=

C

3 8

(

3	x

)5 (-

1

2 3 x

)3=-7 x

2

3

（2）通項公式為 Tr+1=

C

r 8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，
令

8-2r

3

=0，得r=4
所以展開式中的常數項為 T5=

C

4 8

(-

1

2

)4=

35

8

（3）令二項式中的x=1，則有展開式中各項的系數和為(1-

1

2

)8=(

1

2

)8…（10分）
（4）通項公式為 Tr+1=

C

r 8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，考察x的指數知，r=1，4，7時，x的指數為整數，即：
T₂=-4x²，T5=

35

8

，T8=-

1

16x2

此三項為展開式中的有理項…（14分）

點評：本題考查二項式定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握二項式定理及二項項的展開式，二項式系數的性質本題屬于公式運用型，考查了推理判斷的能力及計算能力