Question

在二項式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，前三項系數的絕對值成等差數列
（1）求展開式的常數項； 
（2）求展開式中二項式系數最大的項；
（3）求展開式中各項的系數和．

Answer 1

分析：由前三項系數成等差數列建立方程求出n，
（1）由二項展開式的項的公式，令x的指數為0即可求出常數項；
（2）根據n=8得到展開式有9項，二項式系數最大的為正中間那一項，即求出第五項即可；
（3）可令二項式中的變量為1，計算可得二項式各項的系數和；

解答：解：因為第一、二、三項系數的絕對值分別為C_n⁰，

1

2

C_n¹，

1

4

C_n²；
∴C_n⁰+

1

4

C_n²=2×

1

2

C_n¹
∴n²-9n+8=0
解得n=8．
（1）通項公式為  T_r+1=C₈^r（-

1

2

）^rx 

8-2r

3

，
令 

8-2r

3

=0，得r=4
所以展開式中的常數項為  T₅=C₈⁴（-

1

2

）⁴=358
（2）∵n=8
∴二項式系數最大的為 T₅=C₈⁴（-

1

2

）⁴=358；
（3）令二項式中的x=1，則有展開式中各項的系數和為 （1-

1

2

）⁸=（

1

2

）⁸．…（10分）

點評：本題考查二項式定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握二項式定理及二項項的展開式，二項式系數的性質本題屬于公式運用型，考查了推理判斷的能力及計算能力．