Question

【題目】已知函數f（x）= （k＞0）．
（1）若f（x）＞m的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求不等式5mx2+ x+3＞0的解集；
（2）若存在x＞3使得f（x）＞1成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= （k＞0），f（x）＞m的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，

∴f（﹣3）=m，f（﹣2）=m，即 =m，且 =m，求得k=2，m=﹣ ，

故不等式5mx2+ x+3＞0，即 不等式﹣2x2+x+3＞0，即 2x2﹣x﹣3＜0，求得﹣1＜x＜ ，

故不等式的解集為{x|﹣1＜x＜ }

（2）解：∵存在x＞3使得f（x）＞1成立，∴ ＞1在（3，+∞）上有解，

即x2﹣kx+3k＜0在（3，+∞）上有解，k＞ 在（3，+∞）上能成立，

故k大于g（x）= 的最小值．

∵g′（x）= ，∴在（3，6）上，g′（x）＜0，g（x）為減函數；

在（6，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）為增函數，故g（x）的最小值為g（6）=12，∴k＞12．

【解析】（1）根據f（x）＞m的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，可得 f（﹣3）=m，f（﹣2）=m，求得m、k的值，從而求得不等式5mx2+ x+3＞0的解集．（2）由題意可得k＞ 在（3，+∞）上能成立，故k大于g（x）= 的最小值．再利用導數求得g（x）的最小值，可得k的取值范圍．