Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，點E在棱PD上，且BE⊥PD．
（1）求異面直線PA與CD所成的角的大小；
（2）求證：BE⊥平面PCD；
（3）求二面角A﹣PD﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中點F，連接AF，則CF=AD，且CF∥AD，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∴AF∥CD，

∴∠PAF（或其補角）為異面直線PA與CD所成的角

∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．

∵PB=AB=BF=1，

∴AB⊥BC，

∴PA=PF=AF= ．

∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°

即異面直線PA與CD所成的角等于60°．

（2）證明：由（1）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．

∴CD⊥BD

又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、

∵PB∩BD=B，

∴CD⊥平面PBD，

∴CD⊥BE

∵CD∩PD=D，BE⊥PD

∴BE⊥平面PCD；

（3）解：連接AF，交BD于點O，則AO⊥BD、

∵PB⊥平面ABCD，

∴平面PBD⊥平面ABD，

∴AO⊥平面PBD、

過點O作OH⊥PD于點H，連接AH，則AH⊥PD、

∴∠AHO為二面角A﹣PD﹣B的平面角．

在Rt△ABD中，AO= ．

在Rt△PAD中，AH= = ．

在Rt△AOH中，sin∠AHO= = ．

∴∠AHO=60°．

即二面角A﹣PD﹣B的大小為60°．

【解析】（1）由于直線PA與CD不在同一平面內，要把兩條異面直線移到同一平面內，做AF∥CD，異面直線PA與CD所成的角與AF與PA所成的角相等．（2）證明CD⊥平面PDB，可得CD⊥BE，結合BE⊥PD即可得證．（3）連接AF，交BD于點O，則AO⊥BD．過點O作OH⊥PD于點H，連接AH，則AH⊥PD，則∠AHO為二面角A﹣PD﹣B的平面角．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．