Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，且分別交橢圓于，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，連接，由垂直平分線的性質(zhì)可得，運(yùn)用拋物線的定義，即可得到所求軌跡方程；（2）分類討論：當(dāng)或中的一條與軸垂直而另一條與軸重合時(shí)，此時(shí)四邊形面積．當(dāng)直線和的斜率都存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為．分別與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可得，．利用四邊形面積即可得到關(guān)于斜率的式子，再利用配方和二次函數(shù)的最值求法，即可得出．

試題解析：解：（1）∵，∴點(diǎn)到定直線：的距離等于它到定點(diǎn)的距離，∴點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線．

∴點(diǎn)的軌跡的方程為．

（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，直線的斜率為，，，則直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，得．

∴，．

．由于直線的斜率為，用代換上式中的。可得．

∵，∴四邊形的面積．

由于，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．

易知，當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為零時(shí)，四邊形的面積．

綜上，四邊形面積的最小值為．