Question

【題目】如圖，在三棱錐中，為中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影在上，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】分析：（1）推導(dǎo)出平面，平面平面，從而，，利用線面垂直的判定定理，即可得到面；

（2）以為原點(diǎn)，向量的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

詳解：（1）因?yàn)?/span>在平面內(nèi)的射影在上，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

又平面平面，平面，，

所以平面.因?yàn)?/span>平面，所以.

由已知易得 ,又，所以,

在三角形中，由余弦定理得，

所以，于是，且·

又，平面，平面，

所以平面.

（2）在平面內(nèi)過(guò)作，則平面.以為原點(diǎn)，向量

的方向分別為軸、軸、軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系為計(jì)算簡(jiǎn)便，不妨設(shè)，

則，，，·

所以，.

顯然是平面的一個(gè)法向量.

設(shè)是平面的法向量，

則,即·

令，得.

設(shè)二面角的大小為（為銳角）.

所以.

所以二面角的余弦值為.