Question

（本題滿分15分）已知點（0，1），，直線、都是圓的切線（點不在軸上）.
（Ⅰ）求過點且焦點在軸上的拋物線的標準方程；
（Ⅱ）過點(1,0)作直線與（Ⅰ）中的拋物線相交于兩點，問是否存在定點使為常數？若存在，求出點的坐標及常數；若不存在，請說明理由

Answer 1

（Ⅰ） ；(Ⅱ)，。

解析試題分析：（Ⅰ）設直線的方程為：
由得，所以的方程為                     (4分)
由得點的坐標為.
可求得拋物線的標準方程為.                                     （6分）
（Ⅱ）設直線的方程為，
代入拋物線方程并整理得                                 (8分)     
設則
設，則



                               (12分)
當時上式是一個與無關的常數.
所以存在定點，相應的常數是.                       (15分)
考點：本題考查直線與拋物線的綜合問題；平面向量數量積的運算；拋物線的標準方程．
點評：本題主要考查了直線與拋物線的綜合問題．研究直線與拋物線位置關系的問題，通常有兩種方法：一是轉化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與拋物線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數的關系及判別式解決問題；二是運用數形結合的思想．