Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的長軸長為4，焦距為2 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）過動點M（0，m）（m＞0）的直線交x軸于點N，交C于點A，P（P在第一象限），且M是線段PN的中點，過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長QM交C于點B．
①設直線PM，QM的斜率分別為k，k′，證明 為定值；
②求直線AB的斜率的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：橢圓C： =1（a＞b＞0）的長軸長為4，焦距為2 ．可得a=2，c= ，b= ，

可得橢圓C的方程： ；

（2）

解：過動點M（0，m）（m＞0）的直線交x軸于點N，交C于點A，P（P在第一象限），設N（﹣t，0）t＞0，M是線段PN的中點，則P（t，2m），過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，Q（t，﹣2m），

①證明：設直線PM，QM的斜率分別為k，k′，

k= = ，k′= =﹣ ，

= =﹣3．為定值；

②由題意可得 ，m2=4﹣ t2，QM的方程為：y=﹣3kx+m，

PN的方程為：y=kx+m，

聯立 ，可得：x2+2（kx+m）2=4，

即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0

可得xB= ，yB= +m，

同理解得xA= ，

yA= ，

xB﹣xA= ﹣ = ，

yB﹣yA= +m﹣（ ）= ，

kAB= = = ，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，

所以6k+ ，當且僅當k= 時取等號．

此時 ，即m= ，符號題意．

所以，直線AB的斜率的最小值為： ．

【解析】（1）利用已知條件求出橢圓的幾何量，即可求解橢圓C的方程；（2）①設出N的坐標，求出PQ坐標，求出直線的斜率，即可推出結果②求出直線PM，QM的方程，然后求解B，A坐標，利用AB的斜率求解最小值．；本題考查橢圓方程的綜合應用，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．