Question

如圖所示，某動物園要為剛入園的小老虎建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室，已知已有的兩面墻的夾角為60°（即∠C=60°且兩面墻的長度足夠大），現有可供建造第三面圍墻的材料6米（即AB長為6米），為了使得小老虎能健康成長，要求所建造的三角形露天活動室盡可能大，記∠ABC=θ．
（1）當θ=105°時，求所建造的三角形露天活動室的面積．
（2）問當θ為多少時，所建造的三角形露天活動室的面積最大？

Answer 1

分析：由正弦定理易得，AC=4

3

•sinθ，BC=4

3

•sin(θ+

π

3

)
（1）當θ=105°時，我們易求出AC及BC的長，然后根據S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

計算出三角形的面積；
（2）我們可以根據S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

，我們可以構造出S關于θ的函數，然后根據三角函數的性質，易得三角形露天活動室的最大面積，及對應θ的值．

解答：解：在△ABC中，

AC

sinθ

=

AB

sin π 3

=

BC

sin(θ+ π 3 )

（2分）
化簡得：AC=4

3

•sinθ，BC=4

3

•sin(θ+

π

3

)（3分）
（1）當θ=105°時AC=4

3

•sinθ=4

3

sin105°=4

3

cos15°
BC=4

3

•sin(θ+

π

3

)=4

3

sin165°=4

3

sin15°
所以S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

=3

3

（6分）
（2）S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

=12

3

•sinθ•sin(θ+

π

3

)=12

3

sinθ•(

1

2

sinθ+

3

2

cosθ)
=6

3

(sin2θ+

3

sinθ•cosθ)=6

3

(

1-cos2θ

2

+

3

2

sin2θ)（8分）
=6

3

•[

1

2

+sin(2θ-

π

6

)]
即S△ABC=6

3

•sin(2θ-

π

6

)+3

3

（10分）
所以當2θ-

π

6

=

π

2

，即θ=

π

3

時，（S_△ABC）_max=9

3

（12分）
答：當θ=60^°時，所建造的三角形露天活動室的面積最大．（13分）

點評：本題考查的知識點是在實際問題中建立三角函數模型，及解三角形的應用，其中根據S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

，構造S關于θ的函數解析式，是解答的關鍵．