Question

如圖所示，某動物園要為剛入園的小老虎建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室．已知已有兩面墻的夾角為60°（即∠C=60°），第三面圍墻的長度為6米，即AB=6米，（兩面墻的長均大于6米）．為了使得小老虎能健康成長，要求所建造的三角形露天活動室盡可能大．記∠ABC=θ，問當θ為多少時，所建造的三角形露天活動室的面積最大？

Answer 1

分析：先利用正弦定理，求得AC，BC的長，再利用三角形的面積公式，利用三角恒等變換公式化簡，從而可求三角形面積的最大值．

解答：解：在△ABC中，

AC

sinθ

=

AB

sin π 3

=

BC

sin(θ+ π 3 )

∴AC=4

3

sinθ，BC=4

3

sin(θ+

π

3

)
∴S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

=12

3

sinθsin(θ+

π

3

)=6

3

(sin2θ+

3

sinθcosθ)
=6

3

[

1

2

+sin(2θ-

π

6

)]
∴2θ-

π

6

=

π

2

時，即θ=

π

3

時，面積最大為9

3

∴θ=

π

3

時，所建造的三角形露天活動室的面積最大

點評：本題重點考查正弦定理的運用，考查三角形的面積公式，考查三角恒等變換，構建三角函數模型是解題的關鍵．