Question

(本題滿分15分) 如圖，四邊形中，為正三角形，，，與交于點．將沿邊折起，使點至點，已知與平面所成的角為，且點在平面內的射影落在內．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若已知二面角的余弦值為，求的大小.

Answer 1

（Ⅰ）只需證、即可；（Ⅱ）。

試題分析：(Ⅰ)易知為的中點，
則，又，
又，平面，
所以平面   （5分）
(Ⅱ)方法一：以為軸，為軸，過垂直于
平面向上的直線為軸建立如圖所示空間
直角坐標系，則,       （7分）
易知平面的法向量為 （8分）
，設平面的法向量為
則由得，
解得，，令，則 （11分）
則
解得，，即，即，
又，∴   故.（15分）   
點評：用綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點，而用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經過簡單運算即可，從而體現了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個半平面內與棱垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角； ②設分別是二面角的兩個面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小。