Question

【題目】設三個數成等差數列，記對應點的曲線是.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點，點，點，過點任作直線與曲線相交于兩點，設直線的斜率分別為，若，求滿足的關系式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）三數成等差數列的幾何意義是動點到兩個定點的距離的和為定值，故動點的軌跡為橢圓且橢圓方程為.

（2）設，直線，則 ，聯立方程組并消元后利用韋達定理可得為定值，從而得到滿足的關系式.

詳解：（1）依題意：，

所以點對應的曲線方程是橢圓得，故，故

橢圓方程為

（2）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為.

由，解得，

不妨設，因為，且，

所以，所以滿足的關系式為，即.

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為.

將代入，整理得.

設，則

又，，所以

.

所以，所以，所以滿足的關系式為.

綜上所述，滿足的關系式為.