Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ a（x﹣1）（a∈R）．
（1）若a=﹣2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若不等式f（x）＜0對任意x∈（1，+∞）恒成立． （ⅰ）求實數a的取值范圍；
（ⅱ）試比較ea﹣2與ae﹣2的大小，并給出證明（e為自然對數的底數，e=2.71828）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為a=﹣2時，f（x）=inx+x﹣1， ．

所以切點為（1，0），k=f′（1）=2．

所以a=﹣2時，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x﹣2．

（2）解：（ i）由f（x）=lnx﹣ a（x﹣1），

所以 ，

①當a≤0時，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，

∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增，f（x）＞f（1）=0，

∴a≤0不合題意．

②當a≥2即 時， 在（1，+∞）上恒成立，

∴f（x）在（1，+∞）上單調遞減，有f（x）＜f（1）=0，

∴a≥2滿足題意．

③若0＜a＜2即 時，由f′（x）＞0，可得 ，由f′（x）＜0，可得x ，

∴f（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減，

∴ ，

∴0＜a＜2不合題意．

綜上所述，實數a的取值范圍是[2，+∞）．

（ ii）a≥2時，“比較ea﹣2與ae﹣2的大小”等價于“比較a﹣2與（e﹣2lna）的大小”

設g（x）=x﹣2﹣（e﹣2）lnx，（x≥2）．

則 ．

∴g（x）在[2，+∞）上單調遞增，因為g（e）=0．

當x∈[2，e）時，g（x）＜0，即x﹣2＜（e﹣2）lnx，所以ex﹣2＜xe﹣2．

當x∈（e，+∞）時g（x）＞0，即x﹣2＞（e﹣2）lnx，∴ex﹣2＞xe﹣2．

綜上所述，當a∈[2，e）時，ea﹣2＜ae﹣2；

當a=e時，ea﹣2=ae﹣2；

當a∈（e，+∞）時，ea﹣2＞ae﹣2

【解析】（1）一求切點，二求切點處的導數，即切線的斜率；（2）只需求出函數f（x）在區間[1，+∞）上的最大值即可，利用導數研究單調性，進一步求其最值構造不等式求解；比較大小可將兩個值看成函數值，然后利用函數的性質求解．