【題目】已知數列
的前
項和為
，且滿足
．
（1）求證：數列
為等比數列；
（2）若
，求
的前
項和
．
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】試題分析：（1）利用
，化簡得
，故
是等比數列；（2）由于
，相等于一個等差數列乘以一個等比數列，所以考慮用錯位相減求和法求前
項和為
.
試題解析：
（1）當
時， 
，解得
；．．．．．．．．．．．．．．．1分
當
時， 
，兩式相減得
，．．．．．．．．．．．．．．．．3分
化簡得
，所以數列
是首項為1，公比為-1的等比數列．．．．．．．．．．5分
（2）由（1）可得
，所以
，下提供三種求和方法供參考：．．．．．．．6分
【錯位相減法】
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
兩式相減得
．．．．．．．．．．．．．．．．9分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
所以數列
的前
項和
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【并項求和法】
當
為偶數時， 
；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
當
為奇數時， 
為偶數， 
；．．．．．．．．．．．．11分
綜上，數列
的前
項和
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【裂項相消法】
因為
．．．．．．．．．．．．．．9分
所以
，
所以數列
的前
項和
．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解防震知識在中學生中的普及情況，某地震部門命制了一份滿分為10分的問卷到紅星中學做問卷調查．該校甲、乙兩個班各被隨機抽取
名學生接受問卷調查，甲班
名學生得分為5，8，9，9，9乙班5名學生得分為6，7，8，9，10．
（Ⅰ）請你估計甲乙兩個班中，哪個班的問卷得分更穩定一些；
（Ⅱ）如果把乙班5名學生的得分看成一個總體，并用簡單隨機抽樣方法從中抽取樣本容量為2的樣本，求樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不小于1的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，已知圓
的圓心在直線
上，且該圓存在兩點關于直線
對稱，又圓
與直線
相切，過點
的動直線
與圓
相交于
兩點，
是
的中點，直線
與
相交于點
．
（1）求圓
的方程；
（2）當
時，求直線
的方程；
（3）
是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
：
的離心率
，過點
，
的直線與原點的距離為
，
是橢圓上任一點，從原點
向圓
：
作兩條切線，分別交橢圓于點
，
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若記直線
，
的斜率分別為
，
，試求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）
如圖，在五棱錐
中，
，且
.
（1）已知點
在線段
上，確定
的位置，使得
；
（2）點
分別在線段
上，若沿直線
將四邊形
向上翻折，
與
恰好重合，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，我海監船在
島海域例行維權巡航，某時刻航行至
處，此時測得其東北方向與它相距32海里的
處有一外國船只，且
島位于海監船正東
海里處．
（1）求此時該外國船只與
島的距離；
（2）觀測中發現，此外國船只正以每小時8海里的速度沿正南方向航行，為了將該船攔截在離
島24海里處，不讓其進入
島24海里內的海域，試確定海監船的航向，并求其速度的最小值．（參考數據： 
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某車間為了制作某個零件，需從一塊扇形的鋼板余料（如圖1）中按照圖2的方式裁剪一塊矩形鋼板
，其中頂點
、
在半徑
上，頂點
在半徑
上，頂點
在
上， 
， 
.設
，矩形
的面積為
.
（1）用含
的式子表示
， 
的長；
（2）試將
表示為
的函數；
（3）求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個盒子中裝有5張編號依次為1、2、3、4、5的卡片，這5 張卡片除號碼外完全相同.現進行有放回的連續抽取2 次，每次任意地取出一張卡片.
（1）求出所有可能結果數，并列出所有可能結果；
（2）求事件“取出卡片號碼之和不小于7 或小于5”的概率.
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