Question

【題目】如圖，已知四面體ABCD中，DA=DB=DC=且DA、DB、DC兩兩互相垂直，點是△ABC的中心.

(1)求直線DA與平面ABC所成角的大小(用反三角函數表示)；

(2)過作OE⊥AD，垂足為E，求ΔDEO繞直線DO旋轉一周所形成的幾何體的體積；

(3)將△DAO繞直線DO旋轉一周，則在旋轉過程中，直線DA與直線BC所成角記為，求的取值范圖.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）[0，]．

【解析】

（1）由題意知可得即為直線DA與平面ABC所成角，在直角三角形DAO中求解即可.

（2）由圓錐的幾何特征可得，該幾何體由兩個底面相等的圓錐組合而成，其中兩個圓錐的高的和為，底為，代入圓錐的體積公式，即可得到答案；

（3）根據異面直線所成角的定義，可得當直線DA與直線BC垂直時它們的所成角是90°，達到最大值．由直線與平面所成角的性質，當點A滿足直線BC與OA平行時，直線DA與直線BC所成角等于∠OAD，達到最小值．由此結合題中數據加以計算，即可得到DA與BC所成角的余弦值的取值范圍．

（1）由題意知，DO⊥底面ABC，∴即為直線DA與平面ABC所成角，

∵DA=DB=DC=且DA、DB、DC兩兩互相垂直，∴AB=CB=AC=6，∴AO=

∴，∴.

（2）過E作EH⊥DO，由已知可得，，OE＝2，由此得，

∴△DEO繞直線DO旋轉一周所形成的幾何體的體積；

（3）根據題意，可得在旋轉過程中，當直線DA與直線BC垂直時它們的所成角為90°，

此時兩條直線所成的角的余弦值為0，達到最小值．

當點A滿足直線BC與OA平行時，DA與BC所成的角等于∠OAD，由直線與平面所成角的性質，可得此時兩條直線所成的角達到最小值，余弦值達到最大值．

∵DA＝DB＝DC＝1，且DA，DB，DC兩兩互相垂直，

∴AB＝BC＝CA，得到△ABC是邊長為的等邊三角形，

因此圓O的半徑RAB，

設直線BC與OA平行時的點A的位置為A'，

∴Rt△AOD中，cos∠OA'D，即DA與BC所成的余弦值最大值為，

綜上所述，直線DA與直線BC所成角余弦值的取值范圍是[0，]．