Question

【題目】已知點F（1，0），點A是直線l1：x=﹣1上的動點，過A作直線l2 ， l1⊥l2 ， 線段AF的垂直平分線與l2交于點P． （Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若點M，N是直線l1上兩個不同的點，且△PMN的內切圓方程為x2+y2=1，直線PF的斜率為k，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵點F（1，0），點A是直線l1：x=﹣1上的動點，過A作直線l2 ， l1⊥l2 ， 線段AF的垂直平分線與l2交于點P， ∴點P到點F（1，0）的距離等于它到直線l1的距離，
∴點P的軌跡是以點F為焦點，直線l1：x=﹣1為準線的拋物線，
∴曲線C的方程為y2=4x．
（Ⅱ）設P（x0 ， y0），點M（﹣1，m），點N（﹣1，n），
直線PM的方程為：y﹣m= （x+1），
化簡，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，
∵△PMN的內切圓的方程為x2+y2=1，
∴圓心（0，0）到直線PM的距離為1，即 =1，
∴ = ，
由題意得x0＞1，∴上式化簡，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，
同理，有 ，
∴m，n是關于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的兩根，
∴m+n= ，mn= ，
∴|MN|=|m﹣n|= ，
∵ ，|y0|=2 ，
∴|MN|= ，
直線PF的斜率 ，則k=| |= ，
∴ = = ，
∵函數y=x﹣ 在（1，+∞）上單調遞增，
∴ ，
∴ ，
∴0＜ ＜ ．
∴ 的取值范圍是（0， ）
【解析】（Ⅰ）點P到點F（1，0）的距離等于它到直線l1的距離，從而點P的軌跡是以點F為焦點，直線l1：x=﹣1為準線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．（Ⅱ）設P（x0 ， y0），點M（﹣1，m），點N（﹣1，n），直線PM的方程為（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的內切圓的方程為x2+y2=1，圓心（0，0）到直線PM的距離為1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理， ，由此利用韋達定理、弦長公式、直線斜率，結合已知條件能求出 的取值范圍．