Question

【題目】設拋物線的準線與軸交于，拋物線的焦點，以為焦點，離心率的橢圓與拋物線的一個交點為；自引直線交拋物線于兩個不同的點，設.

（1）求拋物線的方程橢圓的方程；

（2）若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】分析：（1）根據已知分別列方程組求標準方程中的待定系數即可. (2)先利用弦長公式計算出

，再求函數的值域，即得的取值范圍.

詳解： (1)設橢圓的標準方程為，

由題意得，解得

∴橢圓的方程為

∴點的坐標為，

∴，∴拋物線的方程是

(2)由題意得直線的斜率存在，設其方程為，

由消去整理得（*）

∵直線與拋物線交于兩點，

∴，

設，則①，②，

∵，

∴

∴，③

由①②③消去得.

∴

，即 ，將代入上式得，

，

∵在上單調遞減，

∴，即，

∴ ，

∴，即的取值范圍為.