Question

．（12分）
如圖，△ABC內接于⊙O，過點A的直線交⊙O于點P，交BC的延長線于點D，
且AB2＝AP·AD

(1)求證：AB＝AC；
(2)如果∠ABC＝60°，⊙O的半徑為1，且P為弧AC的中點，求AD的長．

Answer 1

(1)證明：聯結BP．
∵AB2＝AP·AD，∴．
∵∠BAD＝∠PAB，∴△ABD∽△APB，
∴∠ABC＝∠APB，∵∠ACB＝∠APB，
∴∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．

(2)由(1)知AB＝AC．∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．
∴∠BAC＝60°，∵P為弧AC的中點，
∴∠ABP＝∠PAC＝∠ABC＝30°，∴∠BAP＝90°，∴  BP是⊙O的直徑，∴  BP＝2，∴AP＝BP＝1，
在Rt△PAB中，由勾股定理得  AB＝BP2－AP2＝3，∴AD＝＝3．

略