Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD=4， ，AB=2CD=8．

（1）設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；

（2）當M點位于線段PC什么位置時，PA∥平面MBD？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：

（1）計算得 ，又平面 平面平面 平面 平面；（2）當 點位于線段靠近 點的三等分點處時， 平面 ．先證四邊形 是梯形．再證 平面．

試題解析：（1）在△ABD中，

∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．

∴AD⊥BD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

∴BD⊥平面PAD．又BD平面MBD，

∴平面MBD⊥平面PAD．

（2）當M點位于線段PC靠近C點的三等分點處時，PA∥平面MBD．

證明如下：連接AC，交BD于點N，連接MN．

∵AB∥DC，所以四邊形ABCD是梯形．

∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．

又∵CM：MP=1：2，

∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．

∵MN平面MBD，∴PA∥平面MBD．