Question

【題目】已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）， 的最小正周期為π，且圖象關于x= 對稱．
（1）求ω和φ的值；
（2）將函數f（x）的圖象上所有橫坐標伸長到原來的4倍，再向右平移 個單位得到函數g（x）的圖象，求g（x）的單調遞增區間以及g（x）≥1的x取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得 ，∴ω=2，

又f（x）的圖象關于 對稱，

∴ ，∴ ，∵ ，∴

（2）解：由（1）可得 ，

∵將函數f（x）的圖象上所有橫坐標伸長到原來的4倍，

再向右平移 個單位得到函數g（x）的圖象，∴ ．

由 ，得 ，

故g（x）的單調遞增區間為 ，k∈Z．

由g（x）≥1，可得 ，∴ ，

∴ ，k∈Z，

即要求的x的取值范圍為{x| ，k∈Z }

【解析】（1）由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由圖象的對稱性求出φ的值，可得函數的解析式．（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）的解析式，利用正弦函數的單調性求得g（x）的單調遞增區間，利用正弦函數的圖象求得g（x）≥1的x取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用正弦函數的單調性和函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象即可以解答此題．