Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx﹣ ）（其中A，ω為常數，且A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若f（α+ ）= ，f（β+ ）= ，且α，β∈（0， ），求α+β的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：據函數y=f（x）的解析式及其圖象可知A=2，

且 T= ﹣（﹣ ）=π，其中T為函數y=f（x）的最小正周期，故T=2π，

所以 =2π，解得ω=1，

所以f（x）=2sin（x﹣ ）．

（2）解：由f（α+ ）= ，可知2sin（ ﹣ ）= ，即sinα= ，

因為α∈（0， ），

所以cos = = ．

由f（β+ ）= ，可知2sin（ ﹣ ）= ，即sin（x+ ）= ，

故cosβ= ，

因為β∈（0， ），

所以sin = ，

于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ= × ﹣ × = ．

因為α，β∈（0， ），

所以α+β∈（0，π），

所以α+β= ．

【解析】（1）由圖可知A的值，由T，可求ω，從而可求函數f（x）的解析式．（2）由f（α+ ）= ，可知sinα，利用同角三角函數基本關系式可求cosα，由f（β+ ）= ，可知cosβ，利用同角三角函數基本關系式可求sinβ，利用兩角和的余弦函數公式可求cos（α+β），結合范圍α+β∈（0，π），即可得解α+β的值．