Question

【題目】橢圓一個焦點為，離心率．

（Ⅰ）求橢圓的方程式．

（Ⅱ）定點，為橢圓上的動點，求的最大值；并求出取最大值時點的坐標求．

（Ⅲ）定直線，為橢圓上的動點，證明點到的距離與到定直線的距離的比值為常數，并求出此常數值．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為；（2）最大值為，此時點坐標為；（3）到的距離與到定直線的距離之比為常數．

【解析】分析：（Ⅰ）由橢圓一個焦點為，可知橢圓的焦點在軸上，且。進而由離心率，可得。再由求得。可得橢圓的方程為。（Ⅱ）要求的最大值，應設坐標，用兩點間的距離公式表示出來，然后求最值。

設點坐標為，則。進而可得，由橢圓的性質可得，由二次函數的性質可得當時，取得最大值．此時點坐標為。

（Ⅲ）設點，則，所以點到的距離為：，由橢圓的性質可得的范圍，所以 。可得點到直線的距離為，進而可得，所以到的距離與到定直線的距離之比為常數。

詳解：（Ⅰ）根據題意得，，

∴，，

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）設點坐標為，則，

所以

所以，

∵，

∴當時，取得最大值．

∴最大值為，此時點坐標為．

（Ⅲ）設點，則，

所以

所以點到的距離為：，

由橢圓的性質可得

所以

所以點到直線的距離為，

所以，

故到的距離與到定直線的距離之比為常數．