Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線AB交拋物線于A，B兩點，弦AB的中點為M，過M作AB的垂直平分線交x軸于N．
（1）求證：FN=

1

2

AB；
（2）過A，B的拋物線的切線相交于P，求P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先求AB的垂直平分線，求出AB的垂直平分線交x軸于N的坐標，進而求得|FN|= x0+

p

2

，|AB|=x₁+x₂+p=2x₀+p，從而問題得證；
（2）先求過A，B的拋物線的切線方程，利用過A，B的拋物線的切線相交于P，可求AB的方程，利用AB過點F，即可求得P的軌跡方程．

解答：（1）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則kAB=

p

y0

∴AB的垂直平分線為y-y0=- 

p

y0

(x-x0)
令y=0，則x_N=x₀+p
∴|FN|= x0+

p

2

∵|AB|=x₁+x₂+p=2x₀+p
∴|FN|=

1

2

|AB|
（2）解：y≥0時，y=

2px

，y′=

p

2px

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀′，y₀′），則切線方程為：y₁y=p（x+x₁），y₂y=p（x+x₂）
∵過A，B的拋物線的切線相交于P，
∴y₀′y₁=p（x₀′+x₁），y₀′y₂=p（x₀′+x₂）
∴AB的方程為y₀′y=p（x₀′+x）
而AB過F(

p

2

，0)
∴y0′×0=p(x0′+

p

2

)
∴x0′=-

p

2

∴P的軌跡方程為x+

p

2

=0

點評：本題以拋物線方程為載體，考查拋物線的性質，考查拋物線的切線方程，考查軌跡方程，用好拋物線的定義，正確求出拋物線的切線方程是解題的關鍵．