Question

【題目】已知矩形，，，將沿對(duì)角線進(jìn)行翻折，得到三棱錐，則在翻折的過程中，有下列結(jié)論：

①三棱錐的體積最大值為；

②三棱錐的外接球體積不變；

③三棱錐的體積最大值時(shí)，二面角的大小是；

④異面直線與所成角的最大值為.

其中正確的是（ ）

A.①②④B.②③C.②④D.③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

考慮在翻折的過程中，當(dāng)面ACD⊥面ACB時(shí)，D到底面的距離最大，進(jìn)而得到棱錐體積最大，可判斷①；取AC的中點(diǎn)O，可得O為棱錐的外接球的球心，計(jì)算可判斷②；由①的解析過程知，三棱錐的體積最大值時(shí)，平面平面，可判斷③

假設(shè)AB⊥CD，由線面垂直的判斷和性質(zhì)，可判斷④．

①，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的高最大，此時(shí)體積最大值為，①錯(cuò)誤；

②設(shè)的中點(diǎn)為，則由，知，，所以為三棱錐外接球的球心，其半徑為，所以外接球體積為，即三棱錐的外接球體積不變，②正確；

③由①的解析過程知，三棱錐的體積最大值時(shí)，平面平面，所以二面角的大小是，③錯(cuò)誤；

④當(dāng)沿對(duì)角線進(jìn)行翻折到使點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，即時(shí)，在中，，所以，又，翻折后此垂直關(guān)系沒有變，所以平面，所以，即異面直線與所成角的最大值為，④正確.

故選C.