Question

【題目】已知函數為實常數.

（1）設，當時，求函數的單調區間；

（2）當時，直線、與函數的圖象一共有四個不同的交點，且以此四點為頂點的四邊形恰為平行四邊形.求證： .

Answer 1

【答案】（1）的單調遞增區間為，無單調遞減區間. （2）見解析

【解析】試題分析：（1）（1）求出F（x）的定義域，求得導數，判斷符號，即可得到所求單調區間；
（2）由題意可得該四邊形為平行四邊形等價于f（m）-g（m）=f（n）-g（n）且m＞0，n＞0．當a=-e時，F(x)＝f(x)g(x)＝（x>0）求出導數，求得單調性，確定0＜m＜1＜n，或0＜n＜1＜m，即可得證．

試題解析：

（1），其定義域為，

而，

當時， ，

故的單調遞增區間為，無單調遞減區間.

（2）證明：因為直線與平行，

故該四邊形為平行四邊形等價于且.

當時， ，

則，令，

則，故在上單調遞增；

而，故時， 單調遞減；

時， 單調遞增；而，

故或，所以.