Question

如圖，棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；
（Ⅲ）求點C到平面PBD的距離.

Answer 1

(1)略
(2)q = 45⁰
(3)

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
設平面PCD的法向量為，則，
即，∴ 故平面PCD的法向量可取為                              
∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.             
設二面角P—CD—B的大小為q，依題意可得，∴q = 45⁰ .                                                      
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，設平面PBD的法向量為，
則，即，∴x=y=z，
故平面PBD的法向量可取為.                             
∵，∴C到面PBD的距離為