Question

已知f(x2-5)=loga

x2

10-x2

(a＞0，且a≠1)．
（1）求f（x）的解析式，并寫出定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）當a＞1時，求使f（x）≥0成立的x的集合．

Answer 1

：（1）令x²-5=t，則x²=t+5．
∴f(x2-5)=loga

x2

10-x2

化為f（t）═loga

t+5

10-t-5

=loga

t+5

5-t

．
∴f(x)=loga

x+5

5-x

，要使函數有意義，必須

x+5

5-x

＞0，解得x∈（-5，5）．
（2）∵函數的定義域關于原點對稱，∴f(-x)=loga

-x+5

5-(-x)

=-loga

x+5

5-x

=-f（x）．
∴函數是奇函數．
（3）當a＞1時，f（x）≥0成立，
即loga

x+5

5-x

＞0
⇒loga

x+5

5-x

＞loga1，
∴

x+5

5-x

＞1
⇒

x+5

5-x

-1＞0
⇒

x+5+x-5

5-x

＞0
⇒

2x

x-5

＜0，
解得x∈[0，5）．