【題目】已知函數
.
（1）求證：
是
上的奇函數；
（2）求
的值；
（3）求證：在
上單調遞增，在
上單調遞減；
（4）求在
上的最大值和最小值；
（5）直接寫出一個正整數
，滿足
．
【答案】（1）證明見解析；（2）
；（3）證明見解析；（4）最大值
，最小值
；（5）答案不唯一，具體見解析.
【解析】
（1）利用奇偶性的定義證明即可；
（2）代值計算即可得出
的值；
（3）任取
，作差
，通分、因式分解后分
和
兩種情況討論的符號，即可證明出結論；
（4）利用（3）中的結論可求出函數
在區間
上的最大值和最小值；
（5）可取滿足
的任何一個整數
，利用函數的單調性和不等式的性質可推導出
成立.
（1）函數
的定義域為
，定義域關于原點對稱，
且
，因此，函數是上的奇函數；
（2）
；
（3）任取，
.
當時，
，
，
，則
；
當時，，
，，則
.
因此，函數在
上單調遞增，在
上單調遞減；
（4）由于函數在上單調遞增，在上單調遞減，
當
時，函數取最大值，即
；
當
時，
，
所以，當
時，函數取最小值，即
.
綜上所述，函數在上的最大值為，最小值為；
（5）由于函數在上單調遞減，
當時，
，
所以，滿足任何一個整數均滿足不等式.
可取
，滿足條件.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓中心在原點，焦點在
軸上，離心率
，點
分別為橢圓的左右焦點，過右焦點且垂直于長軸的弦長為
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓左焦點作直線
，交橢圓于
兩點，若
，求直線的傾斜角.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
滿足
，且
，
（1）求證數列
是等差數列，并求數列的通項公式；
（2）記
，求
；
（3）是否存在實數k，使得
對任意
都成立？若存在，求實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在含有
個元素的集合
中，若這個元素的一個排列（
，
，…，
）滿足
，則稱這個排列為集合
的一個錯位排列（例如：對于集合
，排列
是
的一個錯位排列；排列
不是的一個錯位排列）.記集合的所有錯位排列的個數為
.
（1）直接寫出
，
，
，
的值；
（2）當
時，試用
，
表示，并說明理由；
（3）試用數學歸納法證明：
為奇數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
的圓心為原點
，且與直線
相切.
（1）求圓的方程；
（2）點
在直線
上，過點引圓的兩條切線
，
，切點為
，
，求證：直線
恒過定點.
（3）求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，D是AC的中點，四邊形BDEF是菱形，平面
平面ABC，
，
，
．
若點M是線段BF的中點，證明：
平面AMC；
求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值．
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