Question

【題目】已知數(shù)列滿足，且，

（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，求；

（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使得對任意都成立？若存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）存在且．

【解析】

（1）用等差數(shù)列的定義證明是等差數(shù)列，由可得；

（2）用裂項(xiàng)相消法求；

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得對任意都成立，不等式變形為，只要求得的最小值即可，可先證是遞增的，然后可得最小值．

（1）因?yàn)?/span>，所以，即，所以，所以是等差數(shù)列，公差為2， ，

，所以．

（2）由（1），

所以．

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得對任意都成立，

因?yàn)?/span>，

所以，

不等式化為，

，

設(shè)，

設(shè)，則，，

，所以，所以是遞增數(shù)列，

，

所以．

所以存在實(shí)數(shù)k，使得對任意都成立，且．