Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F.

（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)和橢圓C的離心率；

（2）直線過點(diǎn)F，且與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，如果點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，判斷直線是否經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)，如果經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不經(jīng)過，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）焦點(diǎn)，離心率（2）是過x軸上的定點(diǎn)；定點(diǎn)

【解析】

（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；

（2）直線過點(diǎn)F，可得，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：.（依題意）.設(shè)，，可得根與系數(shù)的關(guān)系，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則.可得直線的方程可以為，令，，把根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)即可得出.

（1）橢圓，

，解得，

焦點(diǎn)，離心率.

（2）直線過點(diǎn)F，

，.

由，得.（依題意）.

設(shè)，，

則，.

點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則.

直線的方程可以設(shè)為，

令，

.

直線過x軸上定點(diǎn).