Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知函數f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．
（1）當a=﹣2時，求不等式f（x）≤2x+1的解集；
（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣2時，不等式f（x）≤2x+1為|x﹣2|﹣2x+3≤0．

x≥2時，不等式化為x﹣2﹣2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2；

x＜2時，不等式化為﹣x+2﹣2x+3≤0，即x≥ ，∴ ≤x≤2，

綜上所述，不等式的解集為{x|x≥ }；

（2）解：x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，即|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，

∵|a+a|﹣|x+1|≤|a﹣1|，

∴|a﹣1|≤2a，∴ ．

【解析】（1）當a=﹣2時，分類討論，即可求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，求出左邊的最大值，即可求a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．