Question

（2012•樂山二模）如圖，已知直線L：x=my+1過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線G；x=a²上的射影依次為點D、K、E，若拋物線x²=4

3

y的焦點為橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線L交y軸于點M，

MA

=λ₁

AF

，

MB

=λ₂

BF

，當M變化時，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析：（1）求出拋物線的焦點，可得b的值，結合F的坐標，即可確定橢圓的方程；
（2）直線x=my+1代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量條件，即可求λ₁+λ₂的值．

解答：解：（1）拋物線x²=4

3

y的焦點為（0，

3

），且為橢圓C的上頂點
∴b=

3

，∴b²=3，
又F（1，0），∴c=1，a²=b²+c²=4．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線x=my+1代入橢圓方程，整理可得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
故△=144（m²+1）＞0．
∴y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

∴

1

y1

+

1

y2

=

2m

3

∵

MA

=λ₁

AF

，∴（x₁，y₁+

1

m

）=λ₁（1-x₁，-y₁）．
∴λ₁=-1-

1

my1

．
同理λ₂=-1-

1

my2

∴λ₁+λ₂=-2-

1

m

（

1

y1

+

1

y2

）=-

8

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交，考查向量知識的運用，聯立方程組，利用韋達定理解題是解題的關鍵．