Question

甲、乙兩大超市同時開業，第一年的全年銷售額均為a萬元，由于經營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為(n²－n＋2)萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多a萬元．
(1)設甲、乙兩超市第n年的銷售額分別為a_n、b_n,求a_n、b_n的表達式；
(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，將會出現在第幾年？

Answer 1

（1）a_n＝b_n＝a(n∈N^*)（2）第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購

(1)假設甲超市前n年總銷售額為S_n，則S_n＝(n²－n＋2)(n≥2)，因為n＝1時，a₁＝a，則n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝(n²－n＋2)－[(n－1)²－(n－1)＋2]＝a(n－1)，故a_n＝又b₁＝a，n≥2時，b_n－b_n－1＝a，故b_n＝b₁＋(b₂－b₁)＋(b₃－b₂)＋…＋(b_n－b_n－1)＝a＋a＋a＋…＋a＝a＝a＝a，顯然n＝1也適合，故b_n＝a(n∈N^*)．
(2)當n＝2時，a₂＝a，b₂＝a，有a₂>b₂；n＝3時，a₃＝2a，b₃＝a，有a₃>b₃；當n≥4時，a_n≥3a，而b_n<3a，故乙超市有可能被甲超市收購．
當n≥4時，令a_n>b_n，則 (n－1)a>a
n－1>6－4·.即n>7－4·.又當n≥7時，0<4·<1，
故當n∈N^*且n≥7時，必有n>7－4·.
即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購．