Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點，.

（1）求證：平面；

（2）點在線段上，，試確定的值，使平面；

（3）若平面，平面平面，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）60°

【解析】

（1）連接，根據幾何性質可證明，利用線面垂直的判定，即可證明平面；

（2）連接交于N，連接，由相似三角形性質可得，結合直線與平面平行的性質，可得，利用比例關系，即可得到結論；

（3）證明平面，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，取平面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求得二面角的大小.

（1）證明：連接.

因為四邊形為菱形，，所以為正三角形.

又為的中點，所以.

因為，為的中點，所以.

又，

所以平面.

（2）當時，平面.

理由如下：連接交于N，連接.

因為，所以.

因為平面，平面，平面平面，

所以，

所以，

所以，即.

（3）因為，平面平面，交線為，

所以平面.

以為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系：

由，則有，，.

設平面的法向量為，由，

且，，可得，

令，得.

所以為平面的一個法向量.

取平面的法向量，

則，

故二面角的大小為.