Question

定義一個對應法則f：P（m，n）→P′(

m

，

n

)，（m≥0，n≥0）．現有點A（1，3）與點B（3，1），點M是線段AB上一動點，按定義的對應法則f：M→M'．當點M在線段AB上從點A開始運動到點B結束時，點M的對應點M'所經過的路線長度為（　　）

• A．

  3

• B．2
• C．

  π

  3

• D．

  π

  6

Answer 1

分析：由定義的新法則f：P/(m，n)→P(

m

，

n

)，(m≥0，n≥0)．點A′（1，3）與點B′（3，1），點M′是線段A′B′上一動點，而不難知道由變換得到點的軌跡是圓的一部分．然后根據弧長公式，易得答案．

解答：解：由題意知A′B′的方程為：x+y=4，
設M（x，y），則M′（x²，y²），
從而有x²+y²=4，
易知A′(1，3)→A(1，

3

)，
B′ (3，1)→B(

3

，1)，
不難得出tan∠AOX=

3

，∴∠AOX=

π

3

，
tan∠BOX=

3

3

，∴∠BOX=

π

6

，
則∠AOB=

π

6

，
點M′的對應點M所經過的路線長度為2π×2×

1

12

=

π

3

．
故選C．

點評：本題以定義的一種新的變換為入手點，主要考查直線與圓的有關知識，解答本題的關鍵是弄懂定義的本質；新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，易得最終結果．弄懂定義的本質是解題關鍵；針對本題，通過閱讀題意，不難知道由變換得到點的軌跡是圓的一部分．