Question

在計算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第k項：k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]由此得
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）
…
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
相加，得1×2×3+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）
類比上述方法，請你計算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，

其結果為

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，是要根據已知中給出的在計算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時化簡思路，對1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）的計算結果進行化簡，處理的方法就是類比k(k+1)=

1

3

[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]，將n（n+1）（n+2）進行合理的分解．

解答：解：∵n（n+1）（n+2）=

1

4

[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]
∴1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）
2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）
…
n（n+1）（n+2）=

1

4

[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

[（1×2×3×4-0×1×2×3）+（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+n×（n+1）×（n+2）×（n+3）-（n-1）×n×（n+1）×（n+2）=

1

4

n(n+1)(n+2)(n+3)
故答案為：

1

4

n(n+1)(n+2)(n+3)

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．