Question

如圖,已知平行四邊形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四邊形ADEF為正方形,平面ADEF⊥平面ABCD.記CD=x,V(x)表示四棱錐F-ABCD的體積.

(1)求V(x)的表達式.
(2)求V(x)的最大值.

Answer 1

(1) V(x)= x(0<x<2)   (2)

【思路點撥】利用體積公式得到V(x)的表達式,然后根據基本不等式或函數的知識求最大值.
解：(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交線為AD且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.
∵BD⊥CD,BC=2,CD=x,
∴FA=2,BD=(0<x<2),
∴S_?ABCD=CD·BD=x,
∴V(x)=S_?ABCD·FA=x(0<x<2).
(2)方法一:要使V(x)取得最大值,只需x=(0<x<2)取得最大值,
∵x²(4-x²)≤()²=4,
∴V(x)≤×2=.
當且僅當x²=4-x²,即x=時等號成立.
故V(x)的最大值為.
方法二:V(x)=x=
=.
∵0<x<2,∴0<x²<4,∴當x²=2,即x=時,V(x)取得最大值,且V(x)_max=.