Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，，點為的中點，與交于點.

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）

【解析】

（I）根據判斷出是異面直線成角，判斷三角形是直角三角形后，直接計算出線線角的余弦值.（II）先證得,然后證得，由此證得平面，從而證得平面平面.（III）過點作與的延長線交于點，證得直線與平面所成角，在中，求得線面角的正弦值.

解：（Ⅰ）∵是矩形，∴∴是異面直線成角

在中， ∴在中，

∴異面直線成角余弦值為.

（Ⅱ）∵，點為的中點∴，又∵

∴

又∵，∴

又∵∴

（Ⅲ）過點作與的延長線交于點，

∵，為斜線在面內的射影

∴直線與平面所成角

在中，∴

∴直線與平面所成角的正弦值