Question

（本小題滿分12分）
某校共有800名學生，高三一次月考之后，為了了解學生學習情況，用分層抽樣方法從中抽出若干學生此次數學成績，按成績分組，制成如下的頻率分布表：

組號	第 一 組	第 二 組	第 三 組	第 四 組	第 五 組	第 六 組	第 七 組	第 八 組	合計
分組
頻數	4	6	20	22	18		10	5
頻率	0.04	0.06	0.20	0.22		0.15	0.10	0.05	1

(Ⅰ) 李明同學本次數學成績為103分，求他被抽中的概率；
(Ⅱ) 為了了解數學成績在120分以上的學生的心理狀態，現決定在第六、七、八組中用分層抽樣方法抽取6名學生的成績，并在這6名學生中在隨機抽取2名由心理老師張老師負責面談，求第七組至少有一名學生與張老師面談的概率；
(Ⅲ) 估計該校本次考試的數學平均分。

Answer 1

（1）每位學生成績被抽取的機會均等 ；
（2） 抽取2個的方法有ab ac ad aE aF bd bc bE bF cd cE cF dE dF EF， 共15種。
至少含E或F的取法有 9種，概率為；
（3）估計平均分為110.4分。

解析試題分析：因為頻率和為1 所以                      （1分）
因為頻率=頻數/樣本容量 所以         （3分）
（1）每位學生成績被抽取的機會均等          （5分）
（2） 在第六、七、八組共有30個樣本，用分層抽樣方法抽取6名學生的成績，每個被抽取的概率為。第七組被抽取的樣本數為。
將第六組、第八組抽取的樣本用a,b,c, d表示，第七組抽出的樣本用E,F表示。
抽取2個的方法有ab ac ad aE aF bd bc bE bF cd cE cF dE dF EF， 共15種。
至少含E或F的取法有 9種，概率為                 （9分）
（3）75x0.04+85x0.06+95x0.2+105x0.22+115x0.18+125x0.15+135x0.1+145x0.05=110.4
估計平均分為110.4分                   （12分）
考點：本題主要考查抽樣方法，頻率的概念及計算，古典概型概率的計算。
點評：典型題，統計中的抽樣方法，頻率直方圖，概率計算及分布列問題，是高考必考內容及題型。古典概型概率的計算問題，關鍵是明確基本事件數，往往借助于“樹圖法”，做到不重不漏。