Question

【題目】已知函數f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）求函數f（x）在區間[﹣ ， ]上的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】解：（ I）函數f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1= sin（2x+ ）+1，∴函數f（x）的最小正周期為：T= =π；

（Ⅱ） 由 ，解得 ，∴函數f（x）的單調遞增區間為 （k∈Z）；

（ III）由 ，得 ，令2x+ =﹣ ，解得x=﹣ ，∴f（x）min= = ×（﹣ ）+1=0，

令2x+ = ，解得x= ，∴f（x）max= = ×1+1= +1．

【解析】（ I）根據正弦函數和余弦函數的二倍角化簡成正弦型函數可得周期。（Ⅱ）把看成一個整體代入正弦函數的單調區間整理即得。（Ⅲ）由整體思想可得 ≤ 2 x + ≤ 根據正弦函數的單調性可得 ，最小值當整體取-時得到，最大值 當整體取時得到。
【考點精析】本題主要考查了三角函數的最值的相關知識點，需要掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．