Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x﹣2
（Ⅰ）用定義法證明：函數f（x）在區間（﹣∞，1]上是減函數；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）﹣mx是偶函數，求m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設﹣∞＜x1＜x2≤1，

所以，f（x1）﹣f（x2）=（ ﹣2x1﹣2）﹣（ ﹣2x2﹣2）=（x1﹣x2 ）（x1+x2﹣2），

因為﹣∞＜x1＜x2，所以，x1﹣x2＜0，x1+x2﹣2＜0，

所以，f（x1）﹣f（x2）＞0，

所以，f（x1）＞f（x2），

所以函數f（x）在區間（﹣∞，1]上是減函數．

（Ⅱ）因為函數g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（2+m）x﹣2，

又因為g（x）是偶函數，2+m=0，

∴m=﹣2．

【解析】（1）根據定義法進行設值作差變形整理可得，（2）當g（x）為偶函數時，其二次函數的對稱軸為y軸，即2+m=0，即可解得m=-2.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數奇偶性的性質和二次函數在閉區間上的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；當時，當時，；當時在上遞減，當時，．