Question

【題目】設函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數在上恰有2個零點，求的取值范圍；

（3）當時，若對任意的正整數在區間上始終存在個整數使得成立，試問：正整數是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】分析：（1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；

（2）得到=，令p（x）=，結合函數的單調性求出a的范圍即可；

（3）求出h（x）的導數，根據函數的單調性求出h（x）的最值，從而求出m的范圍即可．

詳解：（1）函數的定義域為，所以

所以且

由導數幾何意義知在點處的切線方程為，即

（2）由，∴

令，所以，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極大值，也是最大值.

因為，，且時，，

故，所以

（3）由題意，，

因為，所以

所以在上單調遞增，

∴，

由題意，恒成立

令，且在上單調遞增，

因此，而是正整數，故，

所以時，存在，時，

對所有滿足題意，

∴.