Question

已知函數(shù)
(I)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的最小值;
(II)當(dāng)a≤0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(III)是否存在實數(shù)a,對任意的x₁,x₂(0,+∞),且x₁≠x₂,都有恒成立.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.

Answer 1

(I)-2ln2
(II)當(dāng)時，和為單調(diào)增區(qū)間，為單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)a=-2時，為單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)a<-2時，和為單調(diào)增區(qū)間，為單調(diào)減區(qū)間.
(III)存在.

試題分析：(I) 首先確定函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷極小值就是最小值，求出即可. (II) 求導(dǎo)、同分整理得.再分當(dāng)或當(dāng)a=-2或a<-2時，判斷的符號，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可. (III) 假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的，且，都有恒成立. 不妨設(shè)，使得，即，構(gòu)造函數(shù)令，利用導(dǎo)函數(shù)求出滿足函數(shù)g（x）在為增函數(shù)的a取值范圍即可.
試題解析：解：(I)定義域為，當(dāng)a=1時，，所以當(dāng)時，，，所以f（x）在x=2時取得最小值，其最小值為.
(II) 因為，所以
（1）當(dāng)時，若，，f（x）為增函數(shù)；時，，f（x）為減函數(shù)；時， ，f（x）為增函數(shù)；
（2）當(dāng)a=-2時，，f（x）為增函數(shù)；
（3）當(dāng)a<-2時，時， ，f（x）為增函數(shù)；時,，f（x）為減函數(shù)；, ，f（x）為增函數(shù)；
(III)假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的，且，都有恒成立，不妨設(shè)，使得，即，
令，只要g（x）在為增函數(shù)，考察函數(shù)，要使在恒成立.只需，即，故存在實數(shù)符合題意.