Question

【題目】已知，且，函數，其中為自然對數的底數：

（1）如果函數為偶函數，求實數的值，并求此時函數的最小值；

（2）對滿足，且的任意實數，證明函數的圖像經過唯一的定點；

（3）如果關于的方程有且只有一個解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） 的最小值為2（2）見解析（3），或

【解析】試題分析：（1）由函數為偶函數可得，從而求出，需代入檢驗，結合基本不等式即可求出此時函數的最小值；（2）假設過定點，則對任意，且恒成立，可分別令和，從而得出定點；（3）令，且，則方程存在一個解，分別討論和時函數的單調性，即可得出實數的取值范圍.

試題解析：（1）由得： ，解得（舍），或，

經檢驗為偶函數

∴.

又，當且僅當時取等號，

∴的最小值為2.

（2）假設過定點，則對任意，且恒成立.

令得： ；令得： ，

∴， ，解得唯一解

∴

經檢驗當時，

∴函數的圖像經過唯一定點.

（3）令為上連續函數，且，則方程存在一個解.

當時， 為增函數，此時只有一解.

當時，令 ，解得.

因為， ， ，令 ， 為增函數.

所以當時， ，所以， 為減函數；

當時， ，所以， 為增函數.

所以，又定義域為，所以.

①若， 在上為減函數， ，而.

所以時， 至少存在另外一個零點，矛盾！

②若， 在上為增函數， ，而，所以在存在另外一個解，矛盾！

③當，則，解得，此時方程為，

由（1）得，只有唯一解，滿足條件

綜上，當，或時，方程有且只有一個解.