Question

【題目】已知函數f（x）=（x2﹣3x+3）ex的定義域為[﹣2，t]，設f（﹣2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在[﹣2，t]上為單調函數；
（2）求證：m＜n；

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex=x（x﹣1）ex，

由f′（x）＞0可得，x＞1或x＜0；

由f′（x）＞＜0可得，0＜x＜1；

∴f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，

欲f（x）在[﹣2，t]上為單調函數，

則﹣2＜t≤0；

∴t的取值范圍為（﹣2，0]

（2）證明：∵f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，

∴f（x）在x=1處取得極小值e，

又∵f（﹣2）=m= ＜e=f（1），

∴f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值為f（﹣2）．

從而當t＞﹣2時，f（﹣2）＜f（t），即m＜n（3）求證：對于任意的t＞﹣2，總存在x0∈（﹣2，t），滿足 = （t﹣1）2；又若方程 = （t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，請確定t的取值范圍．

證明：∵ = ﹣x0，

∴ = （t﹣1）2可化為 ﹣x0= （t﹣1）2，

令g（x）=x2﹣x﹣ （t﹣1）2，

則證明方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并討論解的個數．

∵g（﹣2）=6﹣ （t﹣1）2=﹣ （t+2）（t﹣4），

g（t）=t（t﹣1）﹣ （t﹣1）2= （t+2）（t﹣1），

①當t＞4或﹣2＜t＜1時，

g（﹣2）g（t）＜0，則方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；

②當1＜t＜4時，g（﹣2）＞0，且g（t）＞0，

又∵g（0）=﹣ （t﹣1）2＜0，

∴方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，且有兩解；

③當t=1時，g（x）=x2﹣x=0，

從而解得，x=0或x=1，

故方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；

④當t=4，g（x）=x2﹣x﹣6=0，

從而解得，x=﹣2或x=3，

故方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；

綜上所述，對于任意的t＞﹣2，總存在x0∈（﹣2，t），滿足 = （t﹣1）2；

當方程 = （t﹣1）2在（﹣2，t）上有唯一解時，t的取值范圍為（﹣2，1]∪[4，+∞）

【解析】（1）求導得f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex=x（x﹣1）ex ， 從而可得f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，從而確定t的取值范圍；（2）借助（1）可知，f（x）在x=1處取得極小值e，求出f（﹣2）=m= ＜e，則f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值為f（﹣2），從而得證；（3）化簡 = ﹣x0 ， 從而將 = （t﹣1）2化為 ﹣x0= （t﹣1）2 ， 令g（x）=x2﹣x﹣ （t﹣1）2 ， 則證明方程x2﹣x﹣ （t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并討論解的個數；由二次函數的性質討論即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．